Лив всю карьеру провел в шведском клубе ХВ-71, лишь в сезоне 2006/2007 уезжал в Северную Америку, где отыграл за команду Grand Rapids Griffins (АХЛ). В сезоне 2007/2008 был признан лучшим хоккеистом Швеции.
В составе сборной Швеции Лив в 2006 году стал Олимпийским чемпионом Турина, а также чемпионом мира. Кроме этого, голкипер выиграл серебряные медали чемпионата мира 2004 года, и бронзовые - 2002-го.
Также играл на Кубках мира 2006, 2008 и 2009.
